[수학] 등차수열과 등차수열의 합

등차수열

등차수열은 연속적으로 일정한 차이를 가지는 수열(숫자들의 나열)입니다.
$a$부터 $b$까지의 연속된 수들은 등차수열의 특성을 가집니다.

예를 들면 다음과 같습니다.

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…$
$2, 4, 6, 8, 10,…$

등차수열의 일반 항 $a_n$은 다음과 같은 공식으로 구할 수 있습니다.

$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$

$a_1$은 수열의 첫 번째 항입니다.
$d$는 공차로 각 항 사이의 차이입니다.
$n$은 항의 번호입니다.

수열이 $2, 4, 6, 8, 10,…$이라면 $a_1 = 2$, $d = 2$입니다.

등차수열의 합

등차수열의 합(Arithmetic Series Sum)은 특정 범위의 등차수열 항목들을 더한 값을 뜻합니다.

등차수열의 합은 일반적으로 첫 번째 항과 마지막 항의 평균에 항의 개수를 곱하는 방식으로 구합니다.

등차수열의 합 공식은 다음과 같습니다.

$ S = \frac{n}{2} \times (a + b) $

$n$은 항의 개수입니다.
$a$는 첫 번째 항, $b$는 마지막 항입니다.

위의 공식이 나오는 과정은 다음과 같습니다.

첫 번째 항부터 $n$번째 항까지의 합을 $S_n$이라고 가정한다면 다음과 같습니다.

$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n $

이 수열을 뒤집어서 더한다면 다음과 같습니다.

$ S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_1 $

위의 두 수식을 더한다면 아래와 같습니다.

$ 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \cdots + (a_n + a_1) $

이처럼 숫자를 짝지어 합을 빠르게 구한다는 점에서 시작됩니다.
이 경우 각 항의 합이 모두 동일하므로 아래와 같은 식이 나옵니다.

$ 2S_n = n \cdot (a_1 + a_n) $

하지만 구하려는 값은 $2S_n$이 아닌 $S_n$이므로 아래와 같은 식이 나옵니다.

$ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) $

예시로 수열이 $2, 4, 6, 8, 10$일 때, 수열의 합을 구해보겠습니다.

첫 번째 항$a_1 = 2$, 마지막 항$a_n = 10$, 항의 개수 $n = 5$입니다.

$ S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2 + 10) = \frac {5}{2} \cdot 12 = 30 $

가우스 합계

가우스 합계(Gaussian Sum)는 등차수열 합의 특수한 경우로, 1부터 $n$까지의 연속된 정수들의 합을 구하는 공식입니다.

$ S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2} $

$n$은 마지막 항(등차수열의 끝값)입니다.
$S$는 1부터 $n$까지의 합을 말합니다.

가우스 합계의 원리는 숫자를 짝지어 합을 빠르게 구한다는 점에서 시작됩니다.
예를 들면 1부터 10까지의 합을 구한다고 가정하면 다음과 같습니다.

수열에서 첫 번째 항과 마지막 항을 더하고, 두 번째 항과 마지막 두 번째 항을 더하는 식으로 짝을 지어줍니다.

$ (1 + 10), (2 + 9), (3 + 8), … $

이 경우 각 쌍의 합은 11이고, 쌍이 총 $\frac{10}{2} = 5$개 있습니다.
따라서 전체 합은 $11 \times 5 == 55$입니다.

각 쌍의 합은 $n + 1$로 첫 항과 마지막 항의 합입니다.
쌍의 개수는 $n/2$로 총 항의 개수를 2로 나눈 값입니다.