[수학] N진법

N진법

N진법은 숫자를 표현하는 방법으로, $0$부터 $(N - 1)$까지의 숫자를 사용하는 수 체계입니다.
예를 들어 10진법은 0부터 9까지의 숫자를 사용합니다.

숫자는 위치에 따라 값이 달라지는데, 이를 자릿값이라고 합니다.

진법의 종류와 일반적으로 사용하는 곳은 다음과 같습니다.

• 2진법(Binary)
  • 컴퓨터는 전기 신호로 동작하기 때문에 사용
• 8진법(Octal)
  • 2진수를 3자리씩 묶어 표현할 수 있어 간단한 축약 표현으로 사용
• 10진법(Decimal)
  • 일상 생활에서 사용
• 16진법(Hexadecimal)
  • 2진수를 4자리씩 묶어 표현할 수 있어 축약 표현으로 사용
  • 메모리 주소, 색상 코드에 사용

표현 방법

모든 N진법에서 수는 다음과 같이 표현됩니다.

$ (a_{k} a_{k-1} \cdots a_{1} a_{0}){N} = a{k} \cdot N^{k} + a_{k-1} \cdot N^{k-1} + \cdots + a_{1} \cdot N^{1} + a_{0} \cdot N^{0} $

여기서 각 자리의 숫자 $a_{i}$는 $(0 \le a_{i} < N)$을 만족합니다.

예를 들어, $1011_{(2)}$는 다음과 같습니다.

$ 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 11_{(10)} $

진법 변환

10진법 -> N진법 변환

$N$으로 나누고 나머지를 기록하는 과정을 반복합니다.

예를 들어, $13_{(10)}$을 2진법으로 변환해보겠습니다.

$13 \div 2 = 6 \ldots 1$
$6 \div 2 = 3 \ldots 0$
$3 \div 2 = 1 \ldots 1$
$1 \div 2 = 0 \ldots 1$

나머지를 아래에서 위로 읽기 때문에 $1101_{(2)}$이 됩니다.

또 다른 예시로, $2017_{(10)}$을 2진법으로 변환해보겠습니다.

$2017 \div 2 = 1008 \ldots 1$
$1008 \div 2 = 504 \ldots 0$
$504 \div 2 = 252 \ldots 0$
$252 \div 2 = 126 \ldots 0$
$126 \div 2 = 63 \ldots 0$
$63 \div 2 = 31 \ldots 1$
$31 \div 2 = 15 \ldots 1$
$15 \div 2 = 7 \ldots 1$
$7 \div 2 = 3 \ldots 1$
$3 \div 2 = 1 \ldots 1$
$1 \div 2 = 0 \ldots 1$

나머지를 아래에서 위로 읽기 때문에 $11111100001_{(2)}$이 됩니다.

이번에는 $2026_{(10)}$을 8진법으로 변환을 해보겠습니다.

$2026 \div 8 = 253 \ldots 2$
$253 \div 8 = 31 \ldots 5$
$31 \div 8 = 3 \ldots 7$
$3 \div 8 = 0 \ldots 3$

나머지를 아래에서 위로 읽기 때문에 $3752_{(8)}$이 됩니다.

N진법 -> 10진법 변환

각 자릿값에 해당하는 $N$의 거듭제곱을 곱하여 모두 더하면 10진법으로 변환할 수 있습니다.

예를 들어, $1101_{(2)}$를 10진법으로 변환해보겠습니다.

$1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$
$= 8 + 4 + 0 + 1$
$= 13_{(10)}$

또 다른 예시로, $3752_{(8)}$을 10진법으로 변환해보겠습니다.

$3 \cdot 8^{3} + 7 \cdot 8^{2} + 5 \cdot 8^{1} + 2 \cdot 8^{0}$
$= 3 \cdot 512 + 7 \cdot 64 + 5 \cdot 8 + 2$
$= 1536 + 448 + 40 + 2$
$= 2026_{(10)}$