[수학] 실수

실수

실수(Real number)는 수학에서 유리수(분수 형태로 표현할 수 있는 수)와 무리수(소수 형태로 끝없이 반복되지 않는 수)를 포함하는 숫자 집합입니다.

모든 연속적인 숫자들로 구성된 수 체계를 의미합니다.
수직선 상 위의 모든 점 또는 십진법 전개로 표현되는 수라고 생각하시면 됩니다.

이러한 실수들은 원점을 기준으로 크기와 방향이라는 속성을 갖습니다.
여기서 크기란 원점으로부터 얼마나 떨어져 있는지, 즉 그 거리를 의미하며 방향은 양수와 음수의 표현을 의미합니다.

\[\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\]

R : 실수 집합
Q : 유리수 집합 (rational numbers)
I : 무리수 집합 (irrational numbers)

연산

실수 집합 $\mathbb{R}$에서는 다음과 같은 연산이 가능합니다.

• 덧셈(+): $a + b \in \mathbb{R}$
• 뺄셈(-): $a - b \in \mathbb{R}$
• 곱셈($\times$): $a \times b \in \mathbb{R}$
• 나눗셈($\div$): $a \div b \in \mathbb{R}, \quad b \neq 0$

순서

실수는 크기를 비교할 수 있는 완비 순서체(ordered field) 입니다.

$a < b$ 또는 $a > b$ 또는 $a = b$

$a < b, b < c \Rightarrow a < c$ (전이성)

연속성

실수는 완비성(Completeness)을 가집니다.
이는 실수의 중요한 성질 중 하나로, 어떤 실수 집합이 위로 유계라면, 그 집합의 상한(최소의 상한)이 실수 집합 안에 존재한다라는 성질입니다.
예를 들어, 실수는 끊기지 않는 수 체계를 이루므로, 소수의 무한한 나열에서도 특정한 값에 수렴할 수 있습니다.

예를 들어, ${x \in \mathbb{R} \vert x^2 < 2}$는 2의 제곱근인 $\sqrt{2}$을 상한으로 가집니다.

실수 종류

자연수

자연수는 $1, 2, 3, 4, …$ 과 같이 양의 정수를 의미합니다. 사물을 세거나 순서를 나타낼 때 사용되며, 가장 기본적인 수의 집합입니다.

일부 정의에서는 0을 포함하여 자연수로 보기도 합니다.

정수

정수는 음의 정수, $0$, 양의 정수를 포함하는 수의 집합으로, $…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …$ 과 같이 표현됩니다.

자연수와 달리 음수까지 포함하므로, 수직선 상에서 양수와 음수의 균형을 이루며, 덧셈과 뺄셈에 대해 닫혀 있습니다.

닫혀 있다라는 말은 수학에서 특정 연산을 수행했을 때, 결과가 항상 같은 집합 내에 속하는 성질을 의미합니다.
$a + b$와 $a - b$는 항상 정수가 나오므로, 정수는 덧셈과 뺄셈에 닫혀 있습니다.

유리수

유리수는 두 정수 $a,b (b \neq 0)$를 이용해 $\frac{a}{b}$형태로 표현할 수 있는 수입니다.

무리수

무리수는 유리수로 표현할 수 없는 수로, 소수로 나타내면 무한히 지속되면서 반복되지 않는 특징이 있습니다.

실수의 활용

실수는 물리학, 공학, 경제학, 컴퓨터 과학 등 여러 분야에서 사용됩니다.

• 기하학: 좌표평면에서 점의 위치 표현
• 물리학: 속도, 가속도, 에너지 등의 연속적인 양 표현
• 컴퓨터 과학: 부동소수점 연산(IEEE 754 표준)
• 경제학: 실수 단위의 금액, 성장률 계산

실수 집합의 한계

실수는 매우 넓은 수 체계지만, 다음과 같은 한계를 가집니다.

• 복소수(허수)가 필요할 때 실수만으로는 부족합니다.
  • 실수만으로는 $x^2 + 1 = 0$ 같은 방정식을 풀 수 없으며, 이를 해결하기 위해 허수 단위 $i$를 도입하여 복소수를 정의합니다.
• 비표준 해석학(non-standard analysis)에서는 실수보다 더 작은 수(무한소)를 고려합니다.
• 컴퓨터에서는 실수를 유한한 비트로 표현해야 하기 때문에 부동소수점 오차가 발생합니다.