[수학] 벡터

벡터

벡터(Vector)는 방향과 크기를 가진 수학적 객체를 의미합니다.

실수는 벡터의 구성 요소로 사용되며, 2D 벡터 $v$는 두 개의 스칼라 $(x, y)$로 구성됩니다.
3D 벡터 $v$는 $(x, y, z)$로 구성됩니다.

여기서 $x$와 $y$는 아래와 같은 두 개의 수직선을 직교한 좌표계의 방향과 크기를 나타내는 스칼라 값입니다.

예를 들어, 벡터(3, 4)는 $x$의 값이 양의 방향으로 그 크기가 3인 스칼라 값과 $y$의 값이 양의 방향으로 그 크기가 4인 스칼라 값으로 구성된 벡터를 의미합니다.

벡터 조합은 벡터들로 새로운 벡터를 만드는 과정입니다.
게임 캐릭터가 움직이는 모든 동작은 벡터의 조합으로 설명할 수 있습니다.
2D 게임에서 플레이어가 키보드의 →(오른쪽)와 ↑(위쪽)을 동시에 누른다면, 캐릭터는 벡터 $(1, 0)$과 $(0, 1)$의 합인 $(1, 1)$ 방향으로 움직입니다.
결과적으로 캐릭터는 대각선 방향으로 이동하게 됩니다.

벡터 연산

덧셈 및 뺄셈

$a = (x_1, y_1)$와 $b = (x_2, y_2)$의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같습니다.

덧셈
$a + b = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$

뺄셈
$a - b = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$

예시
$a = (2, 3), b = (1, 4)$
$a + b = (2 + 1, 3 + 4) = (3, 7)$

이외에도 일반적인 수와 마찬가지로 여러 가지 성질을 만족합니다.

• 결합법칙: 덧셈을 수행하는 순서를 바꿔도 결과는 같습니다.
  • 세 벡터 $a$,$b$,$c$가 있을 때, $(a + b) + c = a + (b + c)$
• 교환법칙: 덧셈 순서를 바꿔도 결과는 같습니다.
  • 두 벡터 $a$, $b$가 있을 때, $a + b = b + a$
• 항등원: 0 벡터($0 = (0, 0)$)를 더하면 벡터는 변하지 않습니다.
  • 벡터 $a$에 대해 $a + 0 = 0 + a = a$
• 역원: 어떤 벡터와 그 벡터의 역원을 더하면 영벡터가 됩니다.
  • 벡터 $a$에 대해 $a + (-a) = (-a) + a = 0$

곱셈

$cv = (c v_x, c v_y, c v_z)$

예시
$3 \times (2,4) = (6, 12)$

벡터 $\mathbf{v}$와 스칼라 $a, b$에 대해 다음과 같습니다.

• 분배 법칙: 스칼라를 벡터의 합에 곱하는 것은 각 벡터에 스칼라를 곱한 후 더한 것과 같습니다.
  • $(a+b)v = av + bv$
• 스칼라 결합 법칙: 벡터 $v$에 스칼라 $b$를 곱한 결과에 다시 스칼라 $a$를 곱한 것은, 두 스칼라를 먼저 곱한 뒤 이를 벡터에 곱하는 것과 동일합니다.
  • $(ab)v = a(bv)$
• 항등원: 벡터에 1을 곱하면 원래 벡터와 동일합니다.
  • $1v = v$
• 영벡터 성질: 0을 곱하면 항상 영벡터(모든 성분이 0인 벡터)가 됩니다.
  • $0v = 0$

선형 의존

선형 의존은 주어진 벡터들이 서로 배수 관계라서 특정 방향으로만 점을 생성할 수 있는 경우입니다.
즉, 한 벡터가 다른 벡터의 일정한 배수로 표현되며, 서로 중복된 정보를 가지고 있기 때문에 특정 방향으로만 점을 생성할 수 있습니다.
따라서, 이 두 벡터로는 평면 전체가 아니라 특정 직선 위의 점만 생성할 수 있으며, 의미적으로 동일한 방향을 가리키는 것이라 할 수 있습니다.

예시
벡터 $(1, 2)$와 $(2, 4)$ 이 두 벡터로 점 $(6, 7)$을 생성할 수 있는지 확인해보겠습니다.

$(6, 7) = a \times (1, 2) + b \times (2, 4)$

• x축 방향: $6 = a + 2b$
• y축 방향: $7 = 2a + 4b$

위 두 식을 비교하면, $y = 2x$라는 관계가 성립합니다.
즉, 이 두 벡터로는 $y = 2x$ 직선 위의 점들만 생성할 수 있습니다.

따라서, 벡터 $(1, 2)$와 $(2, 4)$는 선형 의존입니다.
이는 $(2,4)$가 $(1,2)$의 배수이기 때문입니다.

선형 독립

주어진 두 벡터가 선형 독립이라는 것은, 한 벡터를 다른 벡터의 배수로 표현할 수 없다는 뜻입니다.

즉, 두 벡터가 서로 독립적인 정보를 가지고 있기 때문에 평면 위의 모든 방향에 점을 생성할 수 있습니다.

만약 두 사람이 같은 직선을 따라 걷고 있다면, 두 사람이 협력하더라도 그 직선 위의 점만 도달할 수 있습니다.
하지만 두 사람이 서로 다른 방향으로 걸으면, 훨씬 다양한 지점을 도달할 수 있습니다.
벡터도 마찬가지로, 서로 다른 방향을 가리킬 때 더 많은 점을 만들 수 있습니다.

물리 엔진에서는 선형 독립이 객체의 자유로운 움직임을 보장합니다.
축구 게임에서 축구공이 플레이어의 발에 맞아 $x$축과 $y$축 방향으로 동시에 튀어나간다고 가정한다면 다음과 같습니다.
$x$축과 $y$축의 방향 벡터 $(1,0)$과 $(0,1)$이 선형 독립이기 때문에 공의 움직임은 평면상의 모든 방향으로 자유롭게 표현될 수 있습니다.
반대로, 두 방향 벡터가 선형 의존이라면 공은 특정 직선 위로만 움직일 수밖에 없습니다.

예시 #1
벡터 $(1, 0)$과 $(0, 1)$ 두 벡터로 점 $(6, 7)$을 생성할 수 있는지 확인해보겠습니다.

$(6, 7) = a \times (1, 0) + b \times (0, 1)$

• $x$축 방향: $6 = a$
• $y$축 방향: $7 = b$

$a = 6, b = 7$로 유일한 해를 가집니다.
따라서, 벡터 $(1, 0)$과 $(0, 1)$은 선형 독립입니다.

예시 #2
벡터 (2, 1)과 (1, 3) 두 벡터로 점 $(6, 7)$을 생성할 수 있는지 확인해보겠습니다.

$(6, 7) = a \times (2, 1) + b \times (1, 3)$

• $x$축 방향: $6 = 2a + b$
• $y$축 방향: $7 = a + 3b$

연립방정식을 풀면 $a = 2, b = 1$로 유일한 해를 가집니다.
따라서, 벡터 $(2, 1)$과 $(1, 3)$은 선형 독립입니다.

예시 #3
벡터 $(3, 1)$과 $(2, 4)$는 선형 독립입니다.
왜냐하면 한 벡터를 다른 벡터의 배수로 표현할 수 없기 때문입니다.

기저

기저는 벡터 공간의 모든 벡터를 생성할 수 있는 최소한의 독립적인 벡터 집합입니다.

기저에 포함된 벡터들은 서로 선형 독립입니다.

2차원 평면에서 기저가 될 수 있는 벡터 조합은 다음과 같습니다.

1. 벡터 $(1, 0)$과 $(0, 1)$
   • 가장 기본적인 기저로, $x$축과 $y$축 방향을 나타냅니다.
2. 벡터 $(3, 1)$과 $(2, 4)$
   • 두 벡터가 선형 독립이면서 평면의 모든 점을 생성할 수 있기 때문에 기저가 됩니다.

표준 기저

표준 기저는 가장 기본적이고 직관적인 형태의 기저입니다.

각 차원에 대해 해당 축을 나타내는 벡터들로 구성됩니다.

표준 기저를 사용하면 벡터를 간단히 나타낼 수 있습니다.

1. $R^2$의 표준 기저:
   • 벡터 $(1, 0)$: $x$축 방향
   • 벡터 $(0, 1)$: $y$축 방향
2. $R^3$의 표준 기저:
   • 벡터 $(1, 0, 0)$: x축 방향
   • 벡터  $(0, 1, 0)$: y축 방향
   • 벡터 $(0, 0, 1)$: z축 방향

예를 들어, 벡터 $(3, 2, 1)$은 $R^3$의 표준 기저를 사용해 다음과 같이 표현됩니다.

$3 \times (1, 0, 0) + 2 \times (0, 1, 0) + 1 \times (0, 0, 1)$

차원

차원은 벡터 공간의 기저를 구성하는 벡터의 개수를 의미합니다.

예를 들어, 2차원 평면의 차원은 항상 2입니다.
반면, 3차원 공간의 차원은 항상 3입니다.

표기법은 다음과 같습니다.

1. $R^2$: 2차원 공간, 두 개의 기저 벡터로 이루어집니다.
2. $R^3$: 3차원 공간, 세 개의 기저 벡터로 이루어집니다.

벡터의 활용

힘, 속도, 가속도, 변위 등을 표현하는 데 사용됩니다.

게임 내 물리 계산, 캐릭터 이동, 충돌 감지와 같은 기능들을 구현하는 데 사용될 수 있습니다.

2D게임에서 캐릭터나 물체의 위치를 이러한 벡터로 표현합니다.
이러한 벡터의 크기는 원점에서 해당 벡터까지의 최단거리(유클리드 거리)입니다.

2D를 기준으로는 $\vert v \vert = \sqrt{x^2+y^2}$ 이런 유클리드 거리 공식을 가집니다.

즉, 벡터 (3, 4)의 크기는 $\vert v \vert = \sqrt{3^2+4^2}=5$ 라고 표현할 수 있습니다.