[수학] 벡터 공간

벡터 공간

벡터 공간(Vector Space)는 벡터들이 모여 있는 집합과 그 위에서 정의된 연산(덧셈, 스칼라 곱)이 특정 성질을 만족하는 수학적 공간을 말합니다.
선형대수학에서 가장 기본적이고, 중요한 구조 중 하나입니다.

2차원 물체의 2차원 이동을 구현하기 위해서는 3차원 공간이 필요합니다.
이 3차원 공간에서 2차원은 물체를 구현하고, 나머지 1차원으로 이동을 구현합니다.

만약 3차원의 물체를 이동하기 위해서는 똑같이 4차원 공간이 필요합니다.
이 4차원 공간에서 위의 예시와 같이 3차원은 물체를 구현하고, 나머지 1차원으로 이동을 구현합니다.

게임에서 벡터 공간을 아핀 공간으로 사용하기도 합니다.
아핀 공간은 물체를 표현하는 공간을 의미합니다.

아핀 공간에 속한 벡터를 점(Point)이라고 부릅니다.

게임의 구현에서는 점 또는 벡터(이동) 중 하나로 사용됩니다.

벡터 공간의 다른 부분 공간을 이동을 위한 공간에 속한 벡터로 사용하는 것을 벡터(Vector) 또는 이동 벡터라고 부릅니다.

이동 벡터는 크기와 방향을 가진 대상을 의미하는 물리적 벡터에 해당됩니다.

벡터에 변환(이동, 회전, 확대 및 축소 등)을 적용할 때 선형 변환 개념이 중요합니다.
이러한 변환은 보통 행렬을 통해 표현되고 연산됩니다.

게임 내에서 벡터를 다양한 좌표계로 변환하거나 이동시키는 데 행렬이 사용됩니다.

게임 엔진 내에서는 보이는 영역을 정해서 그 안의 물체만 렌더링하는데, 이를 위해 절두체(Frustum, 시야 범위) 등의 수학적 개념을 활용합니다.
절두체는 여러 평면(앞뒤, 상하, 좌우)으로 경계를 정하여 카메라가 보는 영역을 정의합니다.