[수학] 구분구적법

구분구적법

구분구적법은 도형을 잘게 나눠서 합으로 넓이를 구하는 방법입니다.
즉, 근사값을 구하는 방법입니다.

사각형으로 근사한 값을 구하기 때문에 오차가 있습니다.

곡선 $y = f(x)$가 있을 때, 어떤 구간$[a, b]$의 넓이를 구하고자 합니다.
그런데 이것을 한번에 정확히 구하기 어려우니 구간을 잘게 쪼개고, 각 구간마다 직사각형을 만들어 그 넓이들을 다 더하는 것입니다.

수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

구간 $[a, b]$를 $n$개로 나누면, 각 조각의 너비는 이렇게 됩니다.

$\Delta x =\frac{b - a}{n}$

각 구간마다 직사각형을 만들면 식이 다음과 같이 됩니다.

$f(x_{i}) \cdot \Delta x$

여기서 $f(x_{i})$는 높이를 의미하며, $\Delta x$는 너비를 의미합니다.

이후 모든 직사각형의 넓이를 더하면 이렇게 근사하게 됩니다.

$\sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \Delta x$

그리고 이것을 무한히 잘게 나누면 $n \rightarrow \infty$가 됩니다.
이때 $n$이 커질수록 $\Delta x$는 점점 작아집니다.

좀 더 쉽게 풀어쓰자면, $a$ 부터 $b$까지의 구간을 $n$개로 나눕니다.

이후 한 칸의 너비를 구해야 하는데, $a$ 부터 $b$까지의 길이는 $b - a$가 됩니다.
이 길이는 구간의 길이입니다.

해당 길이를 $n$개로 똑같이 나누는 것을 일반화 하기 때문에 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$이 됩니다.

이제 한 칸의 길이를 구했기 때문에 높이를 구해야합니다.
높이는 각 칸마다 하나의 $x$값을 고르는데, $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$ 가 되며, 이때의 높이가 $f(x_{1}), f(x_{2}), f(x_{3}), \ldots f(x_{n})$가 됩니다.

이제 각 직사각형들에 대한 길이와 높이를 구했으니, 넓이를 구하면 $넓이 = f(x_{i}) \cdot \Delta x$가 됩니다.

이제 각 직사각형들에 대한 넓이를 구했으니 모두 더해야하며, 이를 수식으로 나타내면 $f(x_{1}) \Delta x + f(x_{2}) \Delta x + \cdots + f(x_{n}) \Delta x$가 됩니다.
이것을 줄인것이 $\sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \Delta x$입니다.

적분과 연결하면 다음과 같은 공식이 됩니다.

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_i) \Delta x$

예시

$y = x^{2}$, 구간 $[0, 1]$일 때를 생각해보겠습니다.

구간 $[0, 1]$을 $n$개로 나누면, 각 조각의 너비는 $\Delta x = \frac{1 - 0}{n} = \frac{1}{n}$이 됩니다.

이때 오른쪽 끝점을 기준으로 각 구간의 높이를 잡으면 $x_{i} = \frac {i}{n}$입니다.

함수 $y = x^{2}$이므로, 이 값을 함수에 대입하면 각 직사각형의 높이는 $f(x_{i}) = \left( \frac{i}{n} \right)^{2} = \frac{i^{2}}{n^{2}}$가 됩니다.

그러므로 각 직사각형의 넓이는 $f(x_{i}) \Delta x = \frac{i^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{i^2}{n^3}$이 됩니다.

이제 이 직사각형들을 모두 더하면 $\sum_{i = 1}^{n} f(x_{i}) \Delta x = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2}$이 됩니다.

여기서 자연수의 제곱의 합 공식을 이용하면, 다음과 같이 됩니다.

$\sum_{i = 1}^{n}i^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
$\frac{1}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n}i^{2} = \frac{1}{n^{3}} \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

이것을 정리하면 $= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6n^{3}}$이고, 분자와 분모를 나누어보면 $= \frac{2n^{3} + 3n^{2} + n}{6n^{3}}$입니다.
여기서 다시 각 항을 나누면 $= \frac{2}{6} + \frac{3}{6n} + \frac{1}{6n^{2}}$이므로, $\frac {1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^{2}}$이 됩니다.

이제 $n \rightarrow \infty$로 보내면, $\frac {1}{2n} \rightarrow 0, \, \frac {1}{6n^{2}} \rightarrow 0$이 됩니다.

이제 최종적으로 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^{n} f(x_i) \Delta x = \frac {1}{3}$이 됩니다.

따라서 값은 $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$가 됩니다.